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Weibullanalyse

Weibullanalyse beruht auf der Weibullverteilung. Diese wird zur Modellierung von zeitlichem Ausfallverhalten verwendet. Die Weibullverteilung dient in diesem Kontext jedoch als rein heuristische Verteilungsfunktion ohne jegliche mathematische Grundlage. Trotzdem hat sich die Weibullverteilung in der Praxis als nützlich erwiesen, um real vorkommende zeitliche Ausfallverhalten zu beschreiben.
Der Name Weibullverteilung steht mittlerweile synonym für die Art der nachfolgend beschriebenen Analyse, ungeachtet dessen, welche Verteilungsfunktion im konkreten Anwendungsfall denn verwendet wird (z.B. die Lognormalverteilung oder Betaverteilung).

Die Weibullmethode ist eine ursprünglich rein graphische Methode zur Ermittlung von Ausfallratenfunktionen. Sie stammt aus einer Zeit, in der es keine Software gab.  Wesentliches Merkmal dieser Methode ist die spezielle Art der Achsenskalierung der sog. Weibullnetze. Dadurch wird erreicht, dass kumulierte Verteilungsfunktionen darin als Gerade, und nicht als S-Kurve erscheinen. Die Beurteilung per Auge fällt damit wesentlich leichter. Es gibt Weibullnetze für verschiedene Verteilungsfunktionen (nicht nur für die Weibullverteilung).

 
Liegen die Ausfalldaten annähernd auf einer Geraden, dann ergibt sich die dahinter liegende Verteilungsfunktion aus der Art des gewählten Weibullnetzes. Die Parameter dieser Verteilungsfunktion, namentlich die mittlere Lebensdauer und ggfs. ein weiterer Parameter ("Ausfallsteilheit"), sind direkt aus der Geraden ablesbar.
 
Trotz heutiger Verfügbarkeit spezieller Auswertungsroutinen will man auf die Beurteilung per Auge nicht verzichten, weshalb jede Weibullsoftware nach wie vor die Darstellung von Geraden in Weibullnetzen anbietet.
 
Die wichtigste Verteilungsfunktion in der Weibullanalyse ist die Weibullverteilung. Diese, wie auch die Weibullanalyse als Ganzes, geht zurück auf Herrn Weibull.

Die beiden Parameter der Weibullverteilung sind:


1. Charakteristische Lebensdauer,
2. Ausfallsteilheit.

Wie eingangs bereits beschrieben, ist die Weibullverteilung ist ein ingenieurtechnisches Hilfsmittel, mit dem sich zeitlich nicht-konstante Ausfallraten modellmässig gut handhaben lassen. Sie ist also keine mathematisch begründete Verteilungsfunktion. Sich ändernde Ausfallraten liegen zum Beispiel dann vor, wenn Verschleiss ins Spiel kommt, oder wenn die Rahmenbedingungen des Betriebs sich ändern.


Die charakteristische Lebensdauer ist diejenige Zeitdauer, die ein Individuum der untersuchten Population im Durchschnitt hält bis es ausfällt.
Die Ausfallsteilheit gibt Auskunft darüber, ob die Individuen alle in etwa gleich lang leben (und somit innerhalb eines kleinen Zeitfensters im Bereich der charakteristischen Lebensdauer ausfallen), oder ob die Lebensdauern stark streuen.
Der letztere Fall ist wartungstechnisch ungünstig, da sich die einzelnen Ausfälle schlechter vorhersehbar sind.

Wesentliches Charakteristikum der Weibullanalyse ist, dass die Ausfallzeitpunkte in ein speziell skaliertes Koordinatensystem (Weibullnetz) eingetragen werden, sodass die Punkte idealerweise etwa auf einer Geraden liegen. Ausserdem gibt es genaue Vorschriften, wie die Punkte eingetragen werden müssen.
Aus der Geradensteigung und gewissen Schnittpunkten lassen sich charakteristische Lebensdauer und Ausfallsteilheit direkt  ablesen.
Sollte sich keine Gerade ergeben, dann lässt selbst dies genauere Schlüsse auf das Ausfallverhalten zu.
Beispielsweise lässt sich erkennen, ob die Rahmenbedingungen sich zeitlich geändert haben, oder ob hier statt einer nun zwei gemischte Teilpopulationen mit unterschiedlicher charakteristischer Lebensdauer vorliegen (beispielsweise aus 2 Produktionslinien kommend).

Das folgende Bild zeigt ein bereits ausgefülltes Weibullnetz: 
Weibullnetz
Links senkrecht ist die relative Ausfallhäufigkeit aufgetragen. Z.B. bedeutet 99, dass 99% der Population ausgefallen sind. Unten horizontal ist logarithmisch die Zeit aufgetragen.
Jedes Dreieck repräsentiert einen Ausfall. Die Ermittlung der genauen Positionen der Dreiecke ist statistisch etwas aufwendig. Es sind insgesamt 10 Datenpunkte (Dreiecke), wobei der letzte bei annähernd 100% liegt. Die gesamte Population bestand demnach aus 10 Individuen.

Ablesebeispiel:
Der erste Ausfall geschah nach etwas mehr als 100 Stunden; die kumulierte Häufigkeit wurde nicht bei 10%, sondern statistisch richtig bei ca. 7% eingetragen.

Die blaue Gerade ist diejenige Gerade, die man  in der Vergangenheit per Auge eingetragen hätte, und die nun von der Auswertesoftware errechnet wird. Die blaue Kurve links davon ist der statistische linke 90% Vertrauensbereich der Geraden, d.h., die wahre Gerade liegt ziemlich sicher rechts von dieser Kurve.

Der Schnittpunkt der Geraden mit der grün gestrichelten Geraden (fest bei 63%) ergibt die charakteristische Lebensdauer Eta, hier etwas mehr als 1000 h.
Die Ausfallsteilheit Beta (von der Software zu 1,321 berechnet) lässt sich aus dem dargestellten Weibullnetz nicht ablesen, da dort der Einfachheit halber ein paar Elemente weggelassen wurden. Vollständige Weibullnetze würden dagegen die Ablesung von Beta ermöglichen.