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Weibullanalyse
Weibullanalyse beruht auf der Weibullverteilung.
Diese
wird zur Modellierung von zeitlichem Ausfallverhalten verwendet. Die
Weibullverteilung dient in diesem Kontext jedoch als rein heuristische Verteilungsfunktion
ohne jegliche mathematische Grundlage. Trotzdem hat sich die
Weibullverteilung in der Praxis als nützlich erwiesen, um real
vorkommende zeitliche Ausfallverhalten zu beschreiben.
Der Name Weibullverteilung steht mittlerweile synonym für die Art der
nachfolgend beschriebenen Analyse, ungeachtet dessen, welche
Verteilungsfunktion im konkreten Anwendungsfall denn verwendet wird
(z.B. die Lognormalverteilung
oder Betaverteilung).
Die Weibullmethode ist eine ursprünglich rein graphische Methode zur
Ermittlung von Ausfallratenfunktionen. Sie stammt aus einer Zeit, in
der es keine Software gab. Wesentliches Merkmal dieser Methode
ist die spezielle Art der Achsenskalierung der sog. Weibullnetze.
Dadurch wird erreicht, dass kumulierte Verteilungsfunktionen darin als
Gerade, und nicht als S-Kurve erscheinen. Die Beurteilung per Auge
fällt damit wesentlich leichter. Es gibt Weibullnetze für verschiedene
Verteilungsfunktionen (nicht nur für die Weibullverteilung).
Liegen die Ausfalldaten annähernd auf
einer Geraden, dann ergibt sich die dahinter liegende
Verteilungsfunktion aus der Art des gewählten Weibullnetzes. Die
Parameter dieser Verteilungsfunktion, namentlich die mittlere
Lebensdauer und ggfs. ein weiterer Parameter ("Ausfallsteilheit"), sind
direkt aus der Geraden ablesbar.
Trotz heutiger
Verfügbarkeit spezieller Auswertungsroutinen will man auf die
Beurteilung per Auge nicht verzichten, weshalb jede Weibullsoftware
nach wie vor die Darstellung von Geraden in Weibullnetzen anbietet.
Die wichtigste Verteilungsfunktion in
der Weibullanalyse ist die Weibullverteilung. Diese, wie auch die
Weibullanalyse als Ganzes, geht zurück auf Herrn Weibull.
Die beiden Parameter der Weibullverteilung sind:
1. Charakteristische Lebensdauer,
2. Ausfallsteilheit.
Wie eingangs bereits beschrieben, ist
die Weibullverteilung ist ein ingenieurtechnisches Hilfsmittel, mit dem
sich zeitlich nicht-konstante Ausfallraten modellmässig gut handhaben
lassen. Sie ist also keine mathematisch begründete Verteilungsfunktion.
Sich ändernde Ausfallraten liegen zum Beispiel dann vor, wenn
Verschleiss ins Spiel kommt, oder wenn die Rahmenbedingungen des
Betriebs sich ändern.
Die charakteristische Lebensdauer ist
diejenige Zeitdauer, die ein Individuum der untersuchten Population im
Durchschnitt hält bis es ausfällt.
Die Ausfallsteilheit gibt Auskunft
darüber, ob die Individuen alle in etwa gleich lang leben (und somit
innerhalb eines kleinen Zeitfensters im Bereich der charakteristischen
Lebensdauer ausfallen), oder ob die Lebensdauern stark streuen.
Der letztere Fall ist
wartungstechnisch ungünstig, da sich die einzelnen Ausfälle schlechter
vorhersehbar sind.
Wesentliches Charakteristikum der
Weibullanalyse ist, dass die Ausfallzeitpunkte in ein speziell
skaliertes Koordinatensystem (Weibullnetz) eingetragen werden, sodass
die Punkte idealerweise etwa auf einer Geraden liegen. Ausserdem
gibt es genaue Vorschriften, wie die Punkte eingetragen werden müssen.
Aus der Geradensteigung und gewissen
Schnittpunkten lassen sich charakteristische Lebensdauer und
Ausfallsteilheit direkt ablesen.
Sollte sich keine Gerade ergeben,
dann lässt selbst dies genauere Schlüsse auf das Ausfallverhalten zu.
Beispielsweise lässt sich erkennen,
ob die Rahmenbedingungen sich zeitlich geändert haben, oder ob hier
statt einer nun zwei gemischte Teilpopulationen mit unterschiedlicher
charakteristischer Lebensdauer vorliegen (beispielsweise aus 2
Produktionslinien kommend).
Das folgende Bild zeigt ein bereits
ausgefülltes Weibullnetz:
Links senkrecht ist die relative Ausfallhäufigkeit aufgetragen. Z.B. bedeutet 99,
dass 99% der Population ausgefallen sind. Unten horizontal ist
logarithmisch die Zeit aufgetragen.
Jedes Dreieck repräsentiert einen
Ausfall. Die Ermittlung der genauen Positionen der Dreiecke ist
statistisch etwas aufwendig. Es sind insgesamt 10 Datenpunkte
(Dreiecke), wobei der letzte bei annähernd 100% liegt. Die gesamte
Population bestand demnach aus 10 Individuen.
Ablesebeispiel:
Der erste Ausfall geschah nach etwas
mehr als 100 Stunden; die kumulierte Häufigkeit wurde nicht bei 10%,
sondern statistisch richtig bei ca. 7% eingetragen.
Die blaue Gerade ist diejenige
Gerade, die man in der Vergangenheit per Auge eingetragen hätte,
und die nun von der Auswertesoftware errechnet wird. Die blaue Kurve
links davon ist der statistische linke 90% Vertrauensbereich der
Geraden,
d.h., die wahre Gerade liegt ziemlich sicher rechts von dieser
Kurve.
Der Schnittpunkt der Geraden mit der
grün gestrichelten Geraden (fest bei 63%) ergibt die charakteristische
Lebensdauer Eta, hier etwas mehr als 1000 h.
Die Ausfallsteilheit Beta (von der
Software zu 1,321 berechnet) lässt sich aus dem dargestellten
Weibullnetz nicht ablesen, da dort der Einfachheit halber ein paar
Elemente weggelassen wurden. Vollständige Weibullnetze würden dagegen
die Ablesung von Beta ermöglichen.
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