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MTBF

MTBF - Mean Time between Failure + MTTF

Inhaltsverzeichnis Zur MTBF Dienstleistung

1. Allgemeines zum Thema MTBF

2. Unterschiede MTBF vs. MTTF
3. MTBF kurz und bündig erklärt
4. Irrtümer bezüglich MTBF

         4.1 Was bedeutet MTBF und wozu braucht man es
         4.2 Zusammenhang zwischen MTBF und Lebensdauer
         4.3 Zufällige und systematische Ausfälle MTBF | Thomas Reiter

         4.4 Berechnung der MTBF aus Felddaten
              4.4.1 Näherungsformel
              4.4.2 Bedeutung des Zufalls bei der MTBF
            4.4.3 Genaue Formell
5. MTBF Berechnung nach Standards

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1. Allgemeines zum Thema MTBF

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Dies ist die Wissensseite zum Thema MTBF, Mean Time Between Failure. Hier werden alle grundlegenden didaktischen Aspekte beschrieben, und insbesondere weit verbreitete Irrtümer klargestellt. Die komplementäre Seite MTBF Berechnung richtet sich an Leser mit MTBF oder MTTF relevanten Aufgabenstellungen.

Der Begriff Mean Time Between Failure mag einfach anmuten, doch das Konzept dahinter ist weitreichend.
MTBF ist viel mehr als nur ein idealisiertes Modell. Im Endeffekt korreliert der Grad, mit dem das MTBF Konzept auf ein Unternehmen anwendbar ist, mit dem Reifegrad seines Qualitätsmanagementsystems. Daher kann man MTBF, insbesondere die zugrundeliegende Mathematik und Statistik, als mathematische Beschreibung von Unternehmen verstehen, die ihre (Produkt-) Fehler in perfekter Weise beherrschen. Dabei ist weniger die Ausmerzung aller Fehler gemeint, sondern vielmehr der Zustand, dass das Unternehmen über jeden vorkommenden Fehler alles weiss, und daher zumindest theoretisch alle Fehler abstellen könnte. Die Entscheidung, gewisse Fehler nicht zu addressieren, beruht dann nicht auf mangelnder Datenlage oder Unkenntnis, sondern sie wird aktiv getroffen unter Einbeziehung der Wirtschaftlichkeit.

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2. Unterscheidung MTBF vs MTTF

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Eine (von zwei) Unterscheidungsweisen zwischen MTBF und MTTF, Mean Time To Failure, verdeutlicht folgendes Bild:

MTTR bedeutet Mean time to repair, mittlere Reparaturdauer. MTTR muss man nicht wörtlich nehmen, entscheidend ist, dass es sich um eine Nichtbetriebsdauer aufgrund Ausfall handelt. Insbesondere ist es egal, ob die Geräte reparierbar sind, oder man sie einfach nur austauscht. Sieht man von sehr grossen Anlagen ab (Produktionsanlage, Flugzeug, ...), dann ist die MTTR relativ klein im Vergleich zu MTBF und MTTF, die dann beide sehr viel grössere, und vor allem ähnliche Werte annehmen. Eine Unterscheidung zwischen Beiden ist daher meistens unnötig.
MTBF = MTTF + MTTR

Praktisch ist es sogar eher so, dass die Verwendung der Begriffe MTTF oder MTBF vielmehr davon abhängt, in welcher Branche / welchem Unternehmen man sich befindet, welche Norm man betrachtet, und ob der technische Kontext eher Funktionale Sicherheit (dann MTTF), oder eher Zuverlässigkeit / Wartbarkeit (dann MTBF) ist.

Es gibt noch eine weitere Unterscheidungsweise zwischen MTBF und MTTF, nämlich bei fehlertoleranten Systemen. Dort bedeutet MTTF die mittlere Zeit von t = 0 bis zum ersten Ausfall, und MTBF die Zeit zwischen zwei Ausfällen im eingeschwungenen Zustand (t --> oo). Hier können sich beide zahlenmässig beträchtlich unterscheiden.

Im Folgenden wird vorzugsweise der Begriff MTBF verwendet, einfach weil er bekannter ist. Sofern nicht explizit etwas Anderes gesagt wird, ist im Folgenden immer Beides gemeint.

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3. MTBF kurz und knapp erklärt

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Wir beginnen mit einem einfach anmutenden Beispiel. Daraus werden sich mehrere schwierige Punkte ergeben, die nachfolgend behandelt werden:

Es seien 100.000 Geräte 24 Stunden lang in Betrieb.

Demnach werden in dieser Zeitspanne 100.000 x 24 Stunden = 2,4 Millionen Betriebsstunden aufkumuliert.

Es werden 2 Ausfälle festgestellt.

Man dividiert die Anzahl kumulierter Betriebsstunden durch die Anzahl Ausfälle, und nennt dies die Mean Time Between Failure.
Konkret: (2,4 Millionen kumulierte Betriebsstunden) /(2 Ausfälle) = 1,2 Millionen Stunden, so wie im Bild dargestellt.
Geschäftsführer und Entscheider können hier aufhören zu lesen, sofern sie die Warnung beherzigen.

Das Beispiel wirft folgende Fragen auf (schwierigste zuletzt):

MTBF, obwohl zumeist in Stunden oder Jahren angegeben, ist keine Zeitdauer, sondern eine statistische Kenngrösse für Populationen von Geräten.

Was besagt das, und wozu braucht man es?

Das Beispiel, und damit MTBF im Allgemeinen, sagt nichts darüber aus, wie alt die Geräte (bereits) sind, insbesondere wie lange sie schon gelaufen sind, und wie gross die vorgesehene Gebrauchsdauer ist.

Wie hängen MTBF und Lebensdauer zusammen?

Das Beispiel handelt von Ausfällen, die jederzeit auftreten, also theoretisch schon am ersten Tag.

Welche Art Ausfälle ist hier gemeint?

Diese Berechnungsweise ist zwar gängig, jedoch falsch. Sie liefert zu hohe und damit optimistische MTBF Werte. Das kann in realen wirtschaftlichen Kontexten gefährlich sein.

Warum kann man MTBF nicht auf einfache Weise berechnen, und wie rechnet man richtig?

Im Folgenden werden alle 4 Punkte nacheinander beleuchtet. Die Punkte hängen voneinander ab, d.h., wollte man einen Punkt umfassend verstehen, müsste man wenigstens einen weiteren Punkt vorher verstanden haben. Einen schrittweisen Zugang zum Thema MTBF auf eine Weise, die einerseits erschöpfend ist, andererseits zu keinem Zeitpunkt Fragen offen lassen muss, hat der Verfasser bislang nicht gefunden.
Die Punkte werden in ansteigender Schwierigkeit behandelt

4. Aufklärung einiger Irrtümer

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4.1 Was bedeutet MTBF und wozu braucht man es

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MTBF ist ein sehr anschauliches Mass dafür, wie oft Ausfälle bei gegebener Geräte-Populationsgrösse und Betriebsweise vorkommen. Der Betreiber der Population kann damit den zu erwartenden Reparatur- oder Ersatzteilaufwand abschätzen. So gesehen ist die MTBF eine Eingangsgrösse für die Planung des Betriebs einer Gerätepopulation.

Je mehr teile, desto niedriger die MTBF

Es leuchtet intuitiv ein, dass ein Gerät umso häufiger ausfallen wird, je mehr Ausfallmöglichkeiten es hat. Je mehr ein Gerät "kann", desto mehr Möglichkeiten hat es, auszufallen, wenn man ansonsten gleiche Bedingungen voraussetzt ("ceteris paribus"). Beispielsweise sind bei einer umfangreichen Produktionsanlage mehr Störungen zu erwarten als bei einer Handbohrmaschine. Daraus ergibt sich folgender, grundlegender Sachverhalt:

Ansonsten gleiche Bedingungen vorausgesetzt, hängt die MTBF eines Gerätes nur von der Anzahl seiner Einzelteile ab.

Kernaussage:

"Je mehr Einzelteile, desto mehr Ausfallmöglichkeiten, desto niedriger die MTBF"

Folgende Aussagen beschreiben das obige Beispiel in gleichwertiger Weise. Beachte, dass sie nicht an eine bestimmte MTBF ist proportional zur Komplexität

Populationsgrösse gebunden sind:

Die MTBF beträgt 1,2 Millionen Stunden
Die Ausfallrate beträgt 0,833 pro Million Stunden.
Die Ausfallwahrscheinlichkeit eines bestimmten Geräts beträgt 8,33 x 10^-7 pro Stunde
Die Ausfallrate beträgt 0,73 Prozent pro Jahr ("annual failure rate")

Dass die MTBF zumindest im obigen Beispiel nicht als Zeitdauer interpretierbar ist, ergibt sich allein schon aus den Zahlen:
1,2 Millionen Stunden entsprechen 137 Jahren. So lange hält kein Gerät. Es ist auch in der Praxis sehr oft so, dass die MTBF von Geräten ihre Lebensdauer um ein Vielfaches übersteigt. Daher ist die MTBF in der Regel nicht auf einzelne Geräte anwendbar. Was bleibt, ist die Interpretation als statistische Kenngrösse für Populationen von Geräten, mit dem zusätzlichen Vorteil der Anschaulichkeit: Würde man ein Gerät 137 Jahre lang betreiben können, dann hätte man etwa einen Ausfall zu erwarten. Damit kommen wir zum zweiten Punkt.

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4.2 Zusammenhang zwischen MTBF und Lebensdauer

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Kernaussage, an obigem Beispiel orientiert:

"Während ihrer 10-jährigen Lebensdauer haben die Geräte eine MTBF von 137 Jahren"

Beachte, dass hier nicht einzelne Geräte gemeint sind. Statt Lebensdauer kann man auch nutzbare Produktlebensdauer, oder vorgesehene Gebrauchsdauer sagen. Die Unterschiede liegen allein in der Interpretation, und lassen das Quantitative unberührt.
Alles Weitere lässt sich am Besten anhand der sog. Badewannenkurve erläutern.

Aufgetragen ist die Ausfallrate Lambda über die Zeit. Dargestellt ist das allgemeine Ausfallverhalten einer Population über seinen gesamten Produktlebenszyklus. Statt der MTBF ist ihr Kehrwert, die Ausfallrate Lambda, aufgetragen. Warum? Es hat sich so eingebürgert.

Am Anfang, wenn die Gerätepopulation in Betrieb genommen wird, ist die Ausfallrate hoch wegen verschiedenen Aspekten, an die man nicht gedacht hat, oder die man falsch eingeschätzt hat. Die damit einher gehenden, so genannten Frühausfälle werden vom Lieferanten (hoffentlich) nach und nach addressiert, sodass die Ausfallrate auf ein akzeptables Niveau sinkt.

Im eingeschwungenen Zustand nimmt die Ausfallrate einen niedrigen Wert an. Warum dieser konstant über die Zeit ist oder sein sollte, wird später erklärt. Wenn das Lebensende der Population naht, kommen Alters- und Verschleisserscheinungen hinzu, was die Ausfallrate wieder nach oben treibt.

MTBF Badewannenkurve Verschleissausfälle

MTBF und Lebensdauer lassen sich in der Badewannenkurve sehr gut voneinander abgrenzen. MTBF in der Badewannenkurve

Wollte man MTBF statt 1/MTBF darstellen, dann müsste man die vertikale Achse umskalieren, und erhielte eine "umgedrehte" Badewannenkurve. Egal wie man es darstellt, aus den Bildern wird ersichtlich, dass MTBF und Lebensdauer ganz Unterschiedliches bedeuten, und vermutlich nichts miteinander zu tun haben. Während die Lebensdauer eine kalendarische Zeitdauer ist, die der Benutzer als Gebrauchsdauer erlebt, stellt sich die MTBF als eine anschaulich Beschreibung der Wahrscheinlichkeit dar, mit der das Gerät ausfallen wird. Wiederholung:

Während ihrer 10-jährigen Lebensdauer haben die Geräte eine MTBF von 137 Jahren

Dem aufmerksamen Leser wird nicht entgangen sein, dass ein evtl. Zusammenhang zwischen MTBF und Lebensdauer in der Badewannenkurve

Lebensdauer bisher nicht grundsätzlich verneint wurde. Das obige Beispiel wurde bewusst so gewählt, dass tatsächlich kein Zusammenhang bestehen kann.

MTBF Lebensdauer Unterschied

Doch wie werden die Verhältnisse, wenn das Gerät so umfangreich ist, es aus so vielen Einzelteilen besteht, dass seine MTBF niedriger ist als seine vorgesehene Gebrauchsdauer? Beispiele dafür sind Flugzeuge, Produktionsanlagen, usw.
Grenzfälle, in denen die MTBF im Bereich der vorgesehenen Gebrauchsdauer liegt sind beispielsweise PKW und LKW. Bei sehr umfangreichen Systemen ist die Ausfallwahrscheinlichkeit so hoch, dass ein einzelnes Gerät während seiner Lebensdauer unter Umständen mehrfach ausfallen wird. Dann, und nur dann ist die MTBF als Zeitdauer interpretierbar, nämlich als die mittlere Zeitdauer zwischen 2 Ausfällen ein und desselben Geräts. Die Metrik MTBF ist dann nicht mehr nur eine statistische Kenngrösse für die Population, sondern eine anschauliche Kenngrösse für jedes einzelne Gerät.
Unterstellt man weiterhin, dass der erste Ausfall des Gerätes seinem Lebensende gleichkommt, dann bedeuten MTBF und Lebensdauer in der Tat dasselbe. In diesem Fall wird jedoch bevorzugt MTTF anstelle MTBF verwendet.
Nun kommen wir zu der Frage, welche Ausfälle denn gemeint sind, wenn man von MTBF spricht.

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4.3 Zufällige und systematische Ausfälle

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Konstante Ausfallrate = zufällige Ausfälle

Das Konzept MTBF basiert auf der Unterscheidung zwischen zufälligen und systematischen Ausfällen. Berücksichtigt werden nur zufällige Ausfälle, während systematische Ausfälle ausgeschlossen werden.
Die mathematische Formulierung "konstante Ausfallrate" bedeutet genau dasselbe, wie wenn man sagt "Es kommen ausschliesslich zufällige Ausfälle vor ".

Zufall bedeutet, dass Dinge sich auf eine Weise entwickeln, die grundsätzlich nicht vorhersagbar ist. Das liegt nicht an fehlendem, jedoch prinzipiell beschaffbarem Wissen, sondern daran, dass die Existenz genau dieses Wissens von der Natur gar nicht vorgesehen ist. Die sich daraus ergebenden (naturwissenschaftlichen) Konsequenzen treten in der Quantenmechanik sehr deutlich zu Tage. Im Kapitel Zufall wird näher darauf eingegangen.

In unserem technischen Kontext sind speziell die Eintrittszeitpunkte von Ereignissen gemeint. Die Quintessenz ist, dass Ereignisse mit technischen Folgen existieren, deren Eintrittszeitpunkte gerade deswegen unvorhersehbar sind, weil das notwendige Wissen, das sie vorhersehbar machen würde, aus naturgesetzlichen Gründen nicht existieren kann.
Strenggenommen sind bei der MTBF nur Ausfälle gemeint, die auf genau solchen Ereignissen beruhen.

Wenn also einerseits objektiv zufällige Ereignisse existieren, andererseits vorhersehbare Ereignisse, dann muss es eine Grenze geben, die beide Gruppen voneinander trennt. Das bedeutet, jedes Ereignis, insbesondere im MTBF Kontext jeder Ausfall, muss eindeutig einer der beiden Gruppen zuordenbar sein.

Beispiel aus dem Bereich Luftfahrtelektronik (--> IEC 623936):
Ein Speicherbit ändert als Folge einer quantenmechanischen Fluktuation seinen Zustand. Der zugrundeliegende Mechanismus ist bekannt, und man kann sogar die Eintrittswahrscheinlichkeit berechnen. Diese hängt signifikant davon ab, ob man sich z.B. auf Meereshöhe, oder in atmosphärischen Höhen befindet. Allerdings es ist unmöglich, ein bestimmtes Ereignis (z.B. das nächste) zeitlich vorherzusagen.

Nun begeben wir uns von den Naturwissenschaften weg in technische Gefilde. Dabei wird das bisher Beschriebene
"technologisch relativiert".

Produzierende Unternehmen sind naturgemäss an Zeit und Budget gebunden. Das gilt auch für den Umgang mit Ausfällen im Feld. Deshalb verfügen sie über Prozesse, mit denen die Ursachen ermittelt und ggfs Fehler behoben werden. Ein gewisser Anteil der Ausfälle ist auf Unkenntnis und Fehlbedienung rückführbar. Ein weiterer Anteil kann durch Fachleute bestimmten Schwachstellen zugeordnet werden, die später in der Serie behoben werden. Durch spezielle Tests können weitere Fehlermechanismen aufgedeckt werden. Durch Hinzuziehung externer Dienstleister können von den verbleibenden Ausfällen noch weitere bestimmten Ursachen zugordnet werden, und so weiter. Je genauer hingeschaut wird, desto mehr Rückläufer können zugeordnet und die Fehlerursachen behoben werden.
Mit jedem behobenen Fehlermechanismus wird das Produkt zuverlässiger (wir verwenden hier noch nicht den Begriff MTBF). Aufwand und Detailgrad, mit dem diese Prozesse betrieben werden, hängen ab von Branche, Produktart und Unternehmensmentalität, und orientieren sich an Zeitaufwand, Kosten, und nicht zuletzt an dem Wissen des Unternehmens.

Im praktischen betrieblichen Umfeld gibt es also eine Grenze zwischen solchen Ausfällen, die sich rückblickend als systematisch herausstellen (weil man die Ursache gefunden hat), und den verbleibenden Ausfällen, denen man nicht weiter auf den Grund geht. Letztere sind es, die unter realen Bedingungen (also von nicht perfekten Unternehmen) bewusst oder unbewusst für zufällig erklärt werden.
Unternehmen, die MTBF aus Felddaten berechnen, werden alle Ausfälle aus der Berechnung herausnehmen, die eindeutig nicht den Geräten anzulasten sind. Mit fortschreitendem Produktleben werden es weniger, bis sich die Qualität auf ein befriedigendes Mass eingependelt hat.

In technologischen Umgebungen sind zufällige Ausfälle demnach solche, deren Ursache

tatsächlich auf objektiv zufällige, naturwissenschaftliche Ereignisse rückführbar sind
das Unternehmen mangels Wissen nicht ermitteln kann

Informationen sind nicht zugänglich
Fehlen von Fachwissen

das Unternehmen aus wirtschaftlichen Gründen nicht ermitteln will.

Punkt 1 ist ein objektives Kriterium. Die Punkte 2 und 3 dagegen hängen vom Unternehmen ab, und sind selbst bei sehr guten Unternehmen die letztlich bestimmenden Kriterien.

Die Grenze zwischen zufälligen und systematischen Ausfällen ist unter praktischen Gesichtspunkten demnach immer hauptsächlich technologischer und wirtschaftlicher Natur. Anders ausgedrückt:
Das Unternehmen betrachtet das Ausfallgeschehen mit einem gewissen Abstand. Der Unterschied zwischen zufälligen und systematischen Ausfällen hängt damit von der "statistischen Distanz" des Betrachters ab.
Genau das ist der Hauptgrund dafür, warum bezüglich des Zusammenhangs zwischen MTBF und Lebensdauer oft unterschiedliche Ansichten bestehen.

Kernaussagen:

"Zur MTBF werden nur die zufälligen Ausfälle herangezogen. Welche das genau sind, hängt von der statistischen Distanz des Betrachters vom Ausfallgeschehen, und damit von der Sichtweise des Unternehmens ab".

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4.4 Berechnung der MTBF aus Felddaten

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Alle folgenden Betrachtungen sind auf Felddaten zugeschnitten, können jedoch 1:1 auf alle Situationen übertragen werden, in denen die MTBF aufgrund von Ausfalldaten berechnet werden soll. Insbesondere betrifft das auch Labortestdaten.

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4.4.1 Näherungsformel für MTBF aus Felddaten

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Noch einmal das Rechenbeispiel von ganz oben: MTBF aus Felddaten optimistisch

100.000 Geräte wurden 24 h lang betrieben.

--> Es wurden 100.000 x 24 Stunden = 2,4 Millionen Betriebsstunden aufkumuliert.

Es sind 2 Geräte ausgefallen.

Es scheint naheliegend, die MTBF so zu berechnen, wie im Bild dargestellt, also Kumulierte Zeitdauer dividiert durch Anzahl Ausfälle. MTBF aus Felddaten, gute Näherung

Doch das ist falsch, und leider auch noch optimistisch (das Ergebnis ist besser als die Wirklichkeit)
Bevor wir der Sache auf den Grund gehen, wird zuerst eine sehr gute Näherung vorgestellt, die einfach zu handhaben ist.
Sie unterschätzt die wahre MTBF um maximal 1%, d.h., die wahre MTBF ist bestenfalls etwa 1% grösser, jedoch nie kleiner als der so berechnete Wert.
Das folgende Diagramm stellt die genauen Verhältnisse bis n=20 dar.

Beispielsweise ergibt sich für n = 4 der Wert 99,5%. Das bedeutet: Bei Felddaten mit 4 Ausfällen errechnet man mit der Näherungsformel eine MTBF, die um 0,5% niedriger ist als die wahre MTBF.
Am schlechtesten ist der Fall n = 1. Dort beträgt der Fehler fast 1%.
Für den interessanten Fall n = 0 beträgt der Fehler nur knapp 0,3%

Die genauen Verhältnisse, insbesondere die Berechnungsformel, werden im Skript MTBF beschrieben.

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4.4.2 Veranschaulichung des Zufallscharakters bei der Berechnung der MTBF

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Dass sich die MTBF nicht auf einfache Weise berechnen lässt, kann man schon daran erkennen, dass es für Daten mit Null Ausfällen offensichtlich nicht funktioniert. Der Denkfehler liegt darin, dass die einfache Berechnung von einer banal anmutenden, jedoch nicht zutreffenden Annahme ausgeht. Schritt für Schritt:

Ein Mann läuft durch die Gegend, und erreicht eine Bushaltestelle. Es hängt kein Fahrplan aus, doch der Mann weiss, dass zu jeder vollen Stunde ein Bus vorbei kommt. Ein Blick auf die Uhr verrät ihm, wie lange er bis zum nächsten Bus warten muss.

Informationsstand:

Bus kommt in gleichen Abständen zu jeder vollen Stunde
Uhrzeit ist bekannt

Er hat alle notwendigen Informationen, um die Wartezeit bis zum nächsten Bus zu ermitteln.

Selbes Szenario wie 1., doch der Mann hat keine Uhr dabei. Welche Aussage kann er jetzt treffen?
Er muss im Mittel 1/2 Stunde warten, bis der nächste Bus vorbei kommt.

Informationsstand:

Bus kommt in gleichen Abständen von 1 Stunde

Die Information "zu vollen Stunden" ist bereits nicht mehr verwertbar

Daraus kann er die Wahrscheinlichkeitsaussage "im Mittel 1/2 Stunde" machen.

Der Mann geht durch ein abgelegenes Gebiet, und erreicht eine Strasse. Folgendes ist bekannt; alle Formulierungen sind äquivalent:

Im Mittel kommt ein Auto pro Stunde vorbei. Alle Ereignisse sind voneinander unabhängig
Die mittlere Zeit zwischen zwei Autos beträgt eine Stunde. Die Zeitpunkte sind zufällig verteilt.
Die Ankunftszeiten der Autos sind exponentialverteilt mit dem Mittelwert 1 Stunde.

Die letzten beiden Formulierungen verraten, dass "zeitlich zufällig" und "exponentialverteilt" dasselbe bedeuten. Dies wird im Skript MTBF vertieft.

Informationsstand:

a) Im Mittel kommt pro Stunde 1 Auto vorbei.
b) Die Ereignisse geschehen zufällig, haben also keine Beziehung zueinander.

    Beachte, dass insbesondere b) eine wichtige Information verkörpert, die zusammen mit a) die Gesamtsituation
    vollständig beschreibt. Welche Aussage kann der Mann jetzt treffen?
    --> Er muss im Mittel 1 Stunde warten. Dieses Szenario bauen wir noch weiter aus:

Szenario wie 3., allerdings trifft er dort einen zweiten Mann, der ihm sagt, dass das letzte Auto bereits vor 2 Stunden vorbeigekommen ist. Welche Aussage kann er nun treffen?

Informationsstand:

Im Mittel kommt pro Stunde 1 Auto vorbei.

Beachte: Diese Ereignisse haben keine Beziehung zueinander, sie geschehen zufällig.

Die 2 Stunden sind ein Zufallswert, eine unmittelbare Folge des Sachverhalts "Im Mittel zufällig 1 Auto pro Stunde". Daher ist diese Angabe ohne Informationsgehalt.

--> Er muss im Mittel 1 Stunde warten.

Er muss im Mittel also 1 Stunde warten, egal wie lange die Ankunft des letzten Autos schon zurückliegt.
Der Grund liegt im zufälligen Charakter der Ereignisse. Zufall bedeutet die Abwesenheit von Regelmässigkeit, die Unmöglichkeit der Vorhersagbarkeit. Dann hat aber auch die Vorgeschichte keinen Einfluss auf die Zukunft. Das bedeutet, die Vorgeschichte, selbst wenn man sie kennt, lässt keinen Schlusss auf den Zeitpunkt des nächsten Ereignisses zu. Die Aussage, das letzte Auto sei schon 2 Stunden her, enthält demnach keine Information zur Beantwortung der Frage, wie lange der Mann auf das nächste Auto warten muss. Überhaupt existiert diese Information gar nicht. Die 2 Stunden sind lediglich eine mögliche Realisierung des Sachvarhaltes "Im Mittel zufällig 1 Auto pro Stunde".

Das folgende Beispiel ist bekannter, und obwohl das selbe Prinzip verkörpert, ist es wahrscheinlich einfacher zu verstehen:
Ein idealer Würfel wurde 10 mal geworfen. Es war keine 6 dabei. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim nächsten Wurf eine 6 kommt? Antwort: 1/6.
Die Angabe "idealer Würfel" ist gleichbedeutend damit, dass die Augenzahlen zufällig entstehen. Vergangene Würfe haben demnach keinen Einfluss auf das Eintreten von zukünftigen Augenzahlen. Ein bekanntes Beispiel dafür, dass selbst das viele nicht verstehen, sind Lotto Tippgemeinschaften.

Die Szenarien 3. und 4. lassen sich 1:1 auf den MTBF Kontext übertragen.

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4.4.3. Genaue Formel für MTBF aus Felddaten

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Grundlegende Zusammenhänge:

Die Poissonverteilung dürfte den meisten Ingenieuren bekannt sein. Sie beschreibt, wie viele zufällige Ereignisse mit gegebener Wahrscheinlichkeit in einem gegebenen Zeitraum eintreten werden.

Dies beantwortet die Frage, wie viele Autos in den kommenden x Stunden vorbeikommen werden.

Die Poissonverteilung ist das Integral der Gammaverteilung. Letztere beschreibt, wie lange es bei gegebener Wahrscheinlichkeit im Mittel dauern wird, bis eine gegebene Anzahl zufälliger Ereignisse eingetreten ist.

Das ist genau das, wonach wir suchen: In 5 Stunden zind z.B. 4 Autos vorbeigekommen. Wie gross ist die mittlere Zeitdauer zwischen 2 Autos? (nein, nicht 1,25h, sondern weniger)

Die Gammaverteilung wiederum ist die (k-fache) Faltung der Exponentialverteilung. Letztere beschreibt, wie lange es bei gegebener Wahrscheinlichkeit im Mittel dauern wird, bis genau ein zufälliges Ereignis eingetreten ist.

Dies beantwortet die Frage, wie lange der Mann warten muss, bis insgesamt 5 Autos vorbeigekommen sind.

Die Chi Quadrat Verteilung lässt sich für einen bestimmten Skalenparameter in eine Gammaverteilung, mit ebenfalls einem bestimmten Skalenparameter, "umwandeln". Dieser Umstand war zu Zeiten ohne Taschenrechner usw. sehr nützlich, denn die Chi Quadrat Verteilung ist eine der wenigen, die dem Anwender tabelliert zugänglich waren. Daher ist die Chi Quadrat Verteilung auch heute noch im Bereich MTBF gebräuchlich, und wird auch im Folgenden verwendet.

Die MTBF Berechnungsformel lautet in der Chi Quadrat Variante:

Dabei ist n die Anzahl Ausfälle während der kumulierten Betriebsstunden, und alpha (= Alpharisiko) die statistische Sicherheit. Wenn man Mittelwerte meint, was das selbe ist, wie wenn man von statistischer Sicherheit gar nicht redet, muss man alpha = 50% wählen. Gebräuchlich sind bei MTBF also hauptsächlich 50%, aber auch 60%, insbesondere bei Tests von ICs durch die Hersteller. Seltener gebräuchlich, ganz im Gegensatz zur allgemeinen Statistik, sind 90%.
Warum gerade 60%?
Weil dann bei einem Null-Ausfall Datensatz die nachgewiesene MTBF ungefähr den kumulierten Betriebsstunden entspricht, sogar mit ein wenig Marge. (Exakt, also ohne Marge, würde das für alpha = 63,21% [= 1/e] zutreffen).

Die genauen Verhältnisse, insbesondere, wie man mit obiger Formel praktisch rechnet, inklusive Excelvorlage, sind Bestandteil des MTBF Skripts.

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5. MTBF Berechnung nach Standards

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Zur Übersichtsseite MTBF Berechnungsstandards.

Felddaten sind die beste Datenquelle, weil diese Daten unter realen Bedingungen auftretende Ausfälle repräsentieren, und daher alles beherbergen, was die MTBF beeinflussen könnte. Labortestdaten sind die zweitbeste Datenquelle, weil auch sie echte Ausfälle repräsentieren; immerhin werden die Geräte physikalisch betrieben, und reale Bedingungen können zumindest angenähert werden.

Während man bei Labortestdaten "nur" das Risiko hat, etwas zu vergessen, hat man bei Felddaten zwei wesentliche, bezüglich der Auswirkungen "gegensätzliche" Probleme:

Unter realen Bedingungen ermittelte Felddaten beinhalten sehr viele Vorkommnisse, die nicht den Geräten zugeschlagen werden können, und die deshalb nicht MTBF relevant sind. Es kann sogar vorkommen, dass Fehlbedienung, Betrieb ausserhalb der Spezifikation, Irrtümmer usw. das gesamte Geschehen dominieren.
Es ist nicht gesagt, dass die Rückmeldungen aus dem Feld die tatsächlichen Verhältnisse gut wiedergeben. Dies kann dazu führen, dass MTBF relevante Ereignisse übersehen werden, überhaupt der Blickwinkel aufgrund subjektiver Wahrnehmung der Beteiligten verzerrt wird.

Es gibt ausgesprochen wenige Unternehmen / Institutionen, bei denen sowohl der Rückmeldeprozess aus dem Feld, als auch der Auswerteprozess so gut sind, dass damit verlässliche MTBF Werte ermittelt werden können. Davon haben es einige wenige in der Vergangenheit geschafft, ihre so gewonnenen Erfahrungen in international anerkannte MTBF Berechnungsstandards abzubilden. Die Grenze zwischen zufälligen und systematischen Ausfällen ist in diesen Standards eng verbunden mit den Sichtweisen der Unternehmen / Institutionen, die sie erschaffen haben und teilweise heute noch pflegen. Hier kann von einem sehr hohen Reifegrad ausgegangen werden.
Auf diese Grenze wird in keinem der Standards eingegangen, doch sie spiegelt sich zwangsläufig in den Fehlerratenwerten wieder.

An den Beispielen Mil-HDBK-217 und Siemens SN29500 kann man das besonders gut erkennen: Unter scheinbar gleichen Bedingungen errechnet man mit Siemens SN29500 deutlich bessere MTBF Werte als mit Mil-HDBK-217.
Mil-HDBK-217 wurde vom US Militär entwickelt, das naturgemäss die Rolle eines Kunden einnimmt, der Ausrüstung bei industriellen Lieferanten erwirbt. Demgegenüber ist das Unternehmen Siemens selbst Lieferant. Es bedarf kaum Phantasie, dass Kunden und Lieferanten unterschiedliche Sichtweisen auf das Geschehen im Feld haben, insbesondere militärische Kunden besonders hohen Wert auf Bedienbarkeit legen, und daher geneigt sind, Fehler eher dem Gerät als dem Bediener anzulasten.

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